Ryszard Tadeusiewicz, profesor AGH: Czy jest coś ciekawego w liczbie 1729?
Tydzień temu zapowiedziałem, że dziś opowiem o tym, jakie skutki może mieć fakt, że uczony zainteresuje się numerem taksówki. Czy widzicie Państwo coś ciekawego w numerze 1729? Na pozór nic!
Tak też sądził znany matematyk angielski Godfrey Harold Hardy. Przyjechał on taksówką o tym właśnie numerze do swojego podopiecznego, hinduskiego matematyka Srinivasa Ramanujana. Wspomniał mu o numerze taksówki, dodając, że to taka nieciekawa liczba.
Przeciwnie! - powiedział Ramanujan. - To bardzo ciekawa liczba, bo jest to najmniejsza liczba jaką można wyrazić na dwa różne sposoby za pomocą sumy dwóch sześcianów!
Rzeczywiście 1729 = 12³+ 1³ = 10 + 9³.
Czy ktoś z Państwa byłby w stanie dostrzec, że to taka ciekawa liczba? Ja z pewnością nie!
A tymczasem Ramanujan dostrzegł to w mgnieniu oka, gdy tylko usłyszał tę liczbę!
Mało tego, że dostrzegł też fakt, iż istnieje cała klasa liczb, które tym się charakteryzują, że są to najmniejsze liczby, które da się przedstawić jako sumę dwóch sześcianów na n różnych sposobów. Taka liczba jest oznaczana Ta(n). Godfrey Hardy udowodnił, że istnieje ona dla każdej dodatniej liczby całkowitej n.
Matematycy zainspirowani przez Hardy’ego i Ramanujana przyjrzeli się liczbie 1729 i wykryli cały szereg osobliwości. Okazało się, że jeśli zesumuje się cyfry tworzące te liczbę (1 + 7 + 2 + 9 = 19), to liczba dzieli się bez reszty przez ową sumę (1729/19 = 91). Co ciekawe - wynik dzielenia można odczytać jako 19 czytane od prawej do lewej!
A jeśli mowa o czytaniu od lewej do prawej i od prawej do lewej, to są dwa systemy liczbowe, w których liczba 1729 czytana od lewej do prawej i od prawej do lewej są identyczne. My posługujemy się systemem dziesiętnym, ale komputery używają systemu dwójkowego, a programiści korzystają z systemu szesnastkowego. Nie mam tu miejsca na rozwinięcie tego tematu, ale przechodzenie z zapisu dziesiętnego na binarny (i odwrotnie) było kiedyś warunkiem koniecznym używania komputerów. Otóż jeśli rozważaną tu liczbę 1792 zapiszemy w systemie dwunastkowym, to ma ona postać 1001 i czytana w obie strony jest taka sama. To samo pojawia się, gdy rozważaną liczbę zapiszemy w systemie o podstawie 36.
Liczba 1729 należy też do liczb bezkwadratowych, bo nie jest podzielna przez żaden kwadrat liczby całkowitej z wyjątkiem 1. Należy też do tak zwanych liczb sfenicznych, bo daje się przedstawić jako iloczyn trzech różnych liczb pierwszych.
Wróćmy jednak do głównego wątku dzisiejszego felietonu.
Jak widać, że o tym, czy coś jest ciekawe, czy nie, decyduje nie tylko to, jakie jest to „coś”, co może wywołać zaciekawienie, ale też cechy osoby, która może się tym „czymś” zainteresować. Naukowcy tym się między innymi cechują, że potrafią dostrzec interesujące cechy w tym, co wszyscy inni uważają za banalne i niegodne uwagi.
Warto dodać, że takie naukowe zaciekawienie zwykle prowadzi do wartościowych wyników!
Jak wspomniałem, z tej pamiętnej rozmowy Hardy’ego i Ramanujana wyniknął cały obszar ciekawych dociekań matematycznych związanych z tymi tak zwanymi liczbami taksówkowymi, a informatycy niedawno odkryli, iż używając właśnie liczb Ta(n) można znacząco usprawnić działanie programów dokonujących różnych operacji w komputerach. Na przykład programów, które pozwalają upakować w pamięci komputerów (i różnych innych urządzeń cyfrowych) filmy, obrazy albo nagrania muzyczne, korzystając z procesu kompresji. Oznaczenia MP3, JPEG albo MPEG, znane właściwie wszystkim użytkownikom systemów cyfrowych, określają właśnie sposoby tej kompresji. Okazuje się, że te urządzenia do kompresji obrazów i dźwięków mogą być tańsze i szybsze w działaniu właśnie dzięki zastosowaniu liczb Ramanujana!